3.2. Типовые примеры

Условия выдачи и погашения кредитов (займов, ссуд) весьма разнообразны. Вместе с тем независимо от частностей можно вы­делить две группы взаимосвязанных задач:

1) при заданных параметрах кредита (D, п, /) определить спо­соб его погашения;

2) при заданных ограничениях на использование и погашение заемных средств определить требуемые параметры кредита.

1. Равные срочные уплаты.

Кредит в размере 900 тыс. руб. сроком на 4 года взят под став­ку 5% годовых. Составить план погашения равными срочными уплатами.

Решение

По условию задачи /) = 900000, п = 4, / — 0,05. Подставляя эти значения в формулу (3.6), находим У = 900000/3,54595 = = 253810,6854 руб.

Записываем план погашения долга в виде таблицы (табл. 3.1).

Таблица 3.1
Год, г Остаток долга на начало /-го

года, Ц — —

-А-1

Срочная уплата, У=У Выплата процентов в году t (/, = 0,05-4) Выплата по долгу в году /
1-й 900000 253810,6854 45000 208810,6854
2-й 691189,3146 253810,6854 34559,46573 219251,2197
3-й 471938,0949 253810,6854 23596,90474 230213,7807
4-й 241724,3142 253810,6854 12086,21571 241724,4697

Примечание./)4 совпадает с Ь4 с точностью до первого знака после запятой; указанное расхождение обусловлено принятой точностью вычис­лений (до четвертого знака). В приложениях можно использовать прибли­женные с точностью до целых значения {У, /„ /),). При этом чтобы избе­жать отмеченного выше расхождения, целесообразно замыкающую по долгу выплату полагать равной остатку задолженности на начало послед­него года.

Решение

Расчеты и план погашения кредита представим в табл. 3.2.

Таблица 3.2
Год Остаток долга на начало года, Выплата по долгу, _ В _ 100 000 п " 5 Выплата процентов, // = 0,1 1, Срочная уплата,
1-й 1000000 200000 100000 300000
2-й 800000 200000 80000 280000
3-й 600000 200000 60000 260000
4-й 400000 200000 40000 240000
5-й 200000 200000 20000 220000

3. Погашение кредита потоком платежей.

Долг в 100 тыс. долл. решено погасить по специальному гра­фику за 4 года. Ежегодные платежи по первым трем годам опре­делены в размере 40, 20 и 30 тыс. долл. Ставка процента по долгу установлена на уровне 10%. Определите:

а) остаток долга на конец третьего (начало четвертого) года;

б) величину четвертой срочной уплаты;

в) чему равны ежегодные суммы погашения долга и процентов.

Решение

а) согласно формуле (3.5) имеем:

Ь3= 100(1 + ОД)3-40(1 + ОД)2-20(1 + 0,1) - 30 = 32,7;

б) У4= Ь3( 1 + 0,1) = 35,97. Эту величину можно также вычис­лить из уравнения (3.2) финансовой эквивалентности потока по­гашающих платежей величине долга:

Г4= 100(1 + ОД)4-40(1 + ОД)3-20(1 + ОД)2-30(1 +0,1) = = 146,41 - 53,24 - 24,2 - 33 = 35,97;

в) табл. 3.3 иллюстрирует порядок расчетов выплат по долгу и процентам.

Таблица 3.3
Год Остаток долга на начало года Срочная уплата, долл. Выплата процентов Выплата по долгу
1-й 100000 40000 10000 30000
2-й 70000 20000 7000 13000
3-й 57000 30000 5700 24300
4-й 32700 35970 3270 32700

4. Определение срока, на который берется кредит.

Для выхода на полную мощность предприятие нуждается в кредите на пополнение оборотного капитала. Требуемая сумма - 7 млн руб., доступная кредитная ставка - 12% годовых, длитель­ность операционного цикла (время оборота оборотного капита­ла) — 1 месяц. Кредит планируется погасить одним платежом. Для получения необходимой для этого суммы предполагается использовать чистую прибыль в размере 1 420 ООО руб./мес., ко­торую будет получать предприятие в режиме полной загрузки. В качестве способа накопления этой суммы формируется погаси­тельный фонд с начислением процентов один раз в году по той же ставке 12%. Определить допустимый для предприятия срок заимствования средств.

Решение

Для получения ответа воспользуемся формулой наращенной суммы ренты (2.1) с характеристиками р = 12, т = 1, і = 0,12, R/p = 110000 и приравняем ее требуемой величине погашающего в конце срока х платежа. В результате получим следующее соот­ношение:

1420000- (1 + 0,12Г1Г1 =7000000 (1 +0,12)*, (1 + 0,12) / -1

что дает простейшее показательное уравнение

1,12х = 1,0491

с решением:

х = -

In 1,0491 0,0479

«0,42 года «5 мес.

lnl,12 0,1133

Примечание. Разумеется, ставка погасительного фонда не обяза­тельно совпадает с кредитной ставкой. При различных ставках уравнение, содержащее неизвестную х в показателе степени, уже не будет сводиться к простейшему типу 0х = Ь, однако эти трудности носят вычислительный ха­рактер и вполне преодолимы.

5. Потребительский кредит. Покупатель приобрел в кредит хо­лодильник по цене 4000 руб. При оформлении кредита он внес 1000 руб., обязавшись погасить остальное в течение 6 месяцев, делая ежемесячно равные взносы. Определить:

а) сумму, которую покупатель должен выплачивать ежемесяч­но, если продавец требует за кредит 6% в год;

б) реальную доходность кредитной операции для продавца при условии, что имеется возможность помесячного реинвести­рования;

в) рассчитать график погашения процентов и основного долга.

Решение

а) Сумма кредита с начисленными процентами составляет ве­личину:

5 = 3000(1 + 0,06 • 0,5) = 3090 руб.

Следовательно, ежемесячно покупатель должен выплачивать продавцу 3090/6 = 515 руб.;

б) реальная доходность измеряется ставкой сложного процен­та. Обозначим номинальную годовую ставку через у. Тогда поме­сячная ставка сложного процента: х = у/12. Имеем уравне­ние: 515(1 — (1 + х)~6)/х = 3000 с областью допустимых значений х * -1, х * 0. Заменой переменной г = 1 + х придем к уравнению 5, 825^?~6,825г6+ 1 = 0. Из ограничений на допустимые значения х вытекает, что г * 0, г * 1. Это уравнение имеет два положитель­ных корня: 1\ = 1 и » 1,00852,"из которых допустимым является только второй. Откудах = 0,00852 и, следовательно, годовая став- кау = 12х = 0,10224. Таким образом, реальная доходность для кре­дитора у = 10,2% превышает объявленную им простую ставку пот­ребительского кредита / = 6% на 4,2%;

в) по условиям примера общая сумма начисленных процентов / = 90, а запись,(3.11) примет вид: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1).

Согласно (3.12) для определения последовательных процент­ных погашений следует разделить величину / = 90 на части пропорционально числу оставшихся выплат, т.е. в соотношении 6:5:4:3:2:1. Воспользовавшись сформулированным прави­лом, найдем суммы в счет уплаты процентов:

1Х = 90 • 6/(6 + 5 + 4 + 3 + 2+ 1) = 540/21 « 25,71;

/2= 90 • 5/21 « 21,42; /3« 90 • 4/21 = 17,14; /4= 90 • 3/21 « 12,86;

/5= 90 • 2/21 « 8,57; /6= 90 • 1/21 « 4,28.

Помесячная разность между срочной уплатой и процентным платежом выделяется на погашение основного долга:

D, = 515 - 25,71 = 489,29; D2 = 515 - 21,42 = 493,58;

Z>3= 515 - 17,14 = 497,86; D4= 515 - 12,86 = 502,14;

Z>5= 515 - 8,57 = 506,43; D6= 515 - 4,28 = 510,72.

Имея эти значения, найдем остаток основного долга на нача­ло каждого месяца:

1Х = 3000; L2= 3000 - 489,29 = 2510,71;

L3 = 2510,71 - 493,58 = 2017,13; L4 = 2017,13 - 497,86 = 1519,27;

I5= 1519,27 - 502,14 = 1017,13; L6= 1017,13 - 506,43 = 510,7.

Сумма Z)6 погашения долга в конце срока полностью списы­вает оставшуюся задолженность L6: D6 = L6 = 510,7. Нетрудно убедиться, что проценты уменьшаются, а суммы, погашающие долг, растут.

6. Стандартная ипотека. Ипотечная ссуда в размере 300 тыс. руб. выдана сроком на 15 лет. Погашение - в конце каждого меся­ца, номинальная годовая ставка — 12%. Определить сумму ежеме­сячного платежа и остаток долга на конец пятого года погашения.

Решение

Равные ежемесячные выплаты размером Y образуют простую ренту длительности п = 15 • 12 = 180 единичных периодов (меся­цев) начисления процента под ставку / = 12% /12=1%. Следова­тельно, ее наращенная величина

(i+o,oir-i 0,01

и для определения К имеем уравнение

S(Y) » 300(1 + 0,01)18°,

т. е.

Г- 100 • (5,9958 - 1) = 499,58 У= 300 • 5,9958.

Теперь можно определить ежемесячный взнос: У= 3,6 тыс. руб. = = 3600 руб.

Наращенная за 5 лет величина ссуды при условии помесячно­го начисления процентов составит сумму

55 = 300(1 + 0,01)6°= 300 • 1,8167 = 545,02,

наращенная величина произведенных выплат есть:

3,6- 100 -(1,0160- 1) = 294,012.

Применяя формулу (3.14), найдем остаток:

15= 545,02 - 294,012 = 251,008 тыс. руб. = 251008 руб.

7. Замена одного займа другим.

Господин ТУ в течение 5 лет должен один раз в квартал выпла­чивать 500 д.е. в счет погашения ссуды, взятой под 8% годовых. В связи с отъездом за границу через 2 года он попросил пересчитать величину ежеквартальной выплаты, чтобы успеть рассчитаться. Как изменится величина квартального платежа? Решение Величина ссуды

В = 500 • сс(20; 8/4) = 500 • 16,351 = 8175,5.

Поэтому искомый ежеквартальный платеж Я должен удовлет­ворять уравнению

К • а(8;8/4) = 8175,5,

откуда

К = 81175,5 /7,325= 1116,1 д.е.

8. Реструктуризация кредиторской задолженности.

В настоящее время обязательство заемщика перед кредито­ром составляет 1000 д.е. Финансовое состояние предприятия- должника не позволяет ему погасить эту задолженность по пре­дусмотренной кредитным договором ставке в 8% даже с рассроч­кой в 4 года. Вместе с тем при снижении ставки до 5% отсрочка в

погашении кредита по схеме равных срочных уплат возможна и выплачиваемые предприятием средства не нарушают нормаль­ных условий его функционирования. Кредитор согласился на выплаты по льготной ставке. Определить общие потери кредито­ра, т. е. величину предоставленной заемщику льготы. Решение

Выплаты по льготной ставке вычислим из уравнения: У• а (4; 5) = 1000. По таблице коэффициентов приведения ренты нахо­дим: а (4; 5) =3,5459; отсюда У= 282,016. Применяя базовую ставку, определим финансово-эквивалентную величину долга, погашаемую заемщиком:

А -У-

<< | >>
Источник: Капитоненко В. В.. Задачи и тесты по финансовой математике: учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, — 256 с.. 2007

Еще по теме 3.2. Типовые примеры:

  1. 2.1. Классификация типов экономического роста.
  2. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
  3. 2.1. Типовые модели процессов смешивания
  4. Понятие и классификация «национальных» типов уголовного процесса
  5. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАНИЯ
  6. Смена типов присвоения
  7. Типовые задачи и их РЕШЕНИЯ
  8. § 329. S. С. Neronianum и слияние типов легатов
  9. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ФАКТОР-НОГО АНАЛИЗА
  10. Взаимодействие различных типов собственности
  11. 2. ТИПОВЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
  12. 5.2. Типовые хозяйственные ситуации, связанные с расчетом НДС
  13. § 4. Россия: коренные преобразования типов присвоения
  14. Тема 4. РАЗНОВИДНОСТЬ СМЕНЫ ТИПОВ ГОСУДАРСТВА
  15. Тема 5. ХАРАКТЕРИСТИКА ОСНОВНЫХ ТИПОВ ГОСУДАРСТВА
  16. Некоторые особенности реализации различных типов и форм собственности
  17. Понятие и классификация «национальных» типов уголовного процесса
  18. МЕТОДЫ И ТИПОВЫЕ МЕТОДИКИ АНАЛИЗА ФИНАНСОВО-ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
  19. Глава 11. Экономический анализ особых типов инвестиционных проектов