Ответы и решения

Расчетные задачи

1. 13,6%.

2. 0,1398 «14%.

3. а) согласно (6.7) 2Ф(8/а) = 0,98. Откуда (8/15%) « 2,34 и, сле­довательно, 5 = 15% • 2,34 = 35,1%. Таким образом, —28,1% < г < < 42,1%; б) доверительный интервал для процентных денег получа­ется умножением найденных граничных значений доходности на ве­личину начального капитала: —281000 руб.

< А < 421000 руб.; в) по­лагая год равным 252 торговым дням, найдем волатильность и ожи­даемую доходность за один месяц:

ст = 15%-л/30/252 =5,175%, ц =7%-30/252 = 0,833%.

Откуда найдем верхнюю и нижнюю границы доверительного ин­тервала по доходности:

ц - 2,34а « -11,28%, ц + 2,34а « 12,94%.

Переходя к капиталу, получим предельные значения его возмож­ных потерь и приобретений:

-112800 руб. < А < 129400 руб.;

г) максимально возможные потери начального капитала за год при доверительном уровне 99% оцениваются значением показателя УАЛ = 281000 руб.

4. а) средняя прибыль по каждому из вариантов: тА = 34,5; тв = = 33. Следует выбрать вариант Л; б) дисперсия прибыли по каждому варианту:

аА2 = 32,25; ав2 =21.

Следует выбрать вариант В\ в) коэффициент вариации (формула (6.4)) по каждому варианту:

^ « 5,68/34,3 «0,16; ^«4,58/33 « 0,14.

Следует выбрать вариант В.

5. Вариант «б».

6. оА = 5%, ов = 0,995%, тА = тв = 15%. Не склонный к риску ин­вестор выберет акцию В.

7. а) тА = тв= 2%; оА = 25 и без ограничения на знак переменной х0 (решение аналогичной задачи сред­ствами Excel показано на типовом примере 5 в разделе 6.3);

2) записать уравнение прямолинейной траектории эффективных портфелей (аналог линии рынка капитала) для задачи Тобина: ар = = 0,39/^-4,71;

3) определить точку касания кривой безразличия, отвечающей функции полезности U{R), и эффективной траектории, найденной п. «2». Решая задачу оптимизации MU(R) = 3т — 0,1 т2 - 0, la2 -> max при условии, что а = 0,39т - 4,71 (т и а измеряются в процентах), получим характеристики оптимального портфеля:

т0ПТ« 14,6%, аопт« 1%.

Используя теорему о вложении в два фонда, найдем доли инвес­тирования а0 в безрисковый актив и ас = 1 — а0 в касательный порт­фель: 12а0 + 22,5ас = 14,6. Откуда а0 = 0,75, ас = 0,25, т.е. четвертую часть капитала инвестору целесообразно вложить в касательный портфель С, а оставшиеся три части поместить на депозит под став­ку 12%.

13. Согласно формуле (6.18) акции компании имеют ожидаемую доходность:

т = 10% + 0,5(18% - 10%) = 14%.

Таким образом, стоимость (цена) капитала компании:

/ = 0,4. 10%+ 0,6-14% = 12,4%.

14. а) 21,5%; б) 0,9; в)16,1%; г) 16,1%; д) 18,8%.

15. Рисковые бумаги входят в оптимальный портфель в соотно­шении 1:1. Если риск портфеля ограничен заданной величиной а*, то инвестиции в рисковые бумаги должны быть равными и в сумме

составляют величину и = а * />/5; оставшуюся часть капитала V = 1 —

— и следует вложить в безрисковые бумаги.

16. а) А, Г, Ж; б) Е; в) 15%, портфель В\ г) инвестирую 25/32 сво­их денег в портфель Е и дам вдолг 7/32 денег под 12%. Ожидаемая до­ходность: 12 • 7/32 + 18 • 25/32 = 16,7%. Риск не изменится: стандарт­ное отклонение: (25/32) • 32 = 25%. Выигрыш: Аг= 16,7 - 15 = 1,7%.

17. а) тр = 17%; ар « 18,08%; б) г = 0, ар « 14,88%; г = -0,5, ар « « 10,76%; в) тр > тА, ар < 5%) = 0,5 • Вер(|Д - 14%| < 9%) + 0,5 = Ф(9/15) + + 0,5 = Ф(0,6) + 0,5. Из таблицы значений функции Лапласа найдем, что Ф(0,6) = 0,22575.Поэтому вероятность превышения безрисковой ставки Р» 0,7.

19. А: 1, 0; Б : 2, 0; В : 1, 5; Г: 0; Д : - 1,0.

Аналитические задачи

1. а) Запишем ряд распределения для случайных процентных выплат по данному активу.

Проценты,П г

б) легко понять, что при этих условиях ряд распределения слу­чайной доходности г задается следующим соответствием:

Значения доходности, г га 0
Вероятности, р 1 -Рп Лт

Математическое ожидание этой случайной величины: а ее СКО

2. х0= (10 - /ир/8, X! = (тр - 2)/8, тр = 2 + 1,6ст,.

3. Для определения г0 и тр следует воспользоваться системой уравнений:

™1=>О + Р1('Яс-'О); Щ = г0 + Мтс - Л))-

4. Оптимальная «смесь» достигается при равных денежных вло­жениях в каждый из активов и позволяет получить не зависящую от случайного исхода (ср = 0) одну и ту же доходность тр = 2%.

5. Коэффициент «бета» расширенного портфеля составит величину



•Рл-
К + 1

к

р! =

К + 1



Имея в виду, что /= ХК< 0,1 К, полученный после добавления ак­ций А портфель также можно считать сильно диверсифицирован­ным (несистематический риск равен нулю). Согласно (6.19), риски базового и измененного портфелей определяются в зависимости от риска рыночного портфеля сгс следующими произведениями:

и, следовательно,

ах ~ая = Рх ~Ря °я Ря

Отсюда видно, что при выполнении условия сильной диверси­фикации относительное изменение портфельного риска, измеряе­мого СКО, совпадает по величине с относительным изменением портфельной беты. С учетом доли дополнительного вложения А, по­лученная формула приводится к виду

Аоп ^ (Рл-Ря) ая (1 + Х) ря

6.

Согласно условию

к-Ах х

где к — величина коэффициента пропорциональности. Перепишем это ра­венство в виде отношения прироста этой функции к приросту ее ар­гумента:

Ц(х + Ах)-Ц(х) к Ах х

Переходя к пределу отношения в левой части этого равенства при Ах -> 0, получим дифференциальное уравнение

сШ _ к с1х х'

которому удовлетворяет логарифмическая функция 1/(х) = к\пх. При выборе надлежащих единиц числовой полезности можно считать, что к = 1 и рассматривать логарифмическую полезность

Щх) = 1пх.

7. а) В = (1 + 1/у)(1 - (1 +у)"Л); б) В = (1 + 1/0 - Л/(( 1 +уГ - 1).

Примечание. Для решения можно использовать формулу современ­ной величины ренты с постоянным абсолютным приростом платежей.

8. /> = (1 + 1/0 - л/«1 + 0я - 1),

где / — ставка дисконтирования.

Ситуационные задачи

1. а) У33 = 0, поэтому третья бумага является безрисковой; б)тр « * 7,96« 8%; ор* 7,7%.

2. Половину стоимости портфеля составляют акции компании Boeing. Таким образом, задача состоит в выявлении такого вида ак­ций /, для которого двухкомпонентный портфель будет иметь наи­меньший по всем возможным вариантам риск:

о2р = 1 • 282 +1 • о} + 2 • 1 • 1 ги • 28 • а, -j^min,

что равносильно минимизации суммы I = а,-2 + 56 ruoi.

Отсюда понятно, что для решения достаточно ограничиться сле­дующими числовыми данными.

/ 1 2 3 4 5 6 7
28 29 25 29 24 39 42
Г\і 1 0,65 0,45 0,34 0,64 0,4 0,42

Сравнивая значения по столбцам, легко понять, что выбор сле­дует проводить между акциями Kodak (№3), Georgia Pacific (№4) и McDonnell Douglas (№5):

min{25(25 + 56 • 0,45); 29(29 + 56 • 0,34); 24(24 + 56 • 0,64)} =

= min{1255; 1393,16; 1436,16} = 1255.

Выбрать следует акции компании Kodak.

3. Ожидаемую доходность ти и риск игры сти получим по прави­лам теории вероятностей исходя из ряда распределения случайной доходности вложения в игру:

Доходности 900% -100%
Вероятности 0,08 0,92

Откуда ти = -20%, сти = 271,29%.

Требуемую пропорцию найдем из уравнения т+ гд( 1 — хи) = = 0, т.е. 0,3хи =0,1. Это означает, что играть следует на одной трети капитала, а его оставшуюся часть поместить на депозит. При этом

риск комбинированного вложения, хотя и снизится втрое по сравне­нию с игрой, но все равно будет достаточно большим: ар « 0,9=90%.

Таблица 6.20
Исход 1 Исход 2
И фа 10 хи 0
Депозит 1,1*д 1,1*д
Вероятности 0,08 0,92

Примечание. Ответ можно также получить, исходя из таблицы зна­чений наращенной на конец квартала суммы (табл. 6.20).

При таком рассмотрении условие сохранения капитала примет вид: 0,08 • 10хи+ 1,Ъсд= 1.

ха°а + хвав + ахвса^вгав

4. а) т^сА + твхв = тр

хАв0.

Отметим, что данная модель совпадает с математическим описа­нием задачи Тобина, в которой безрисковый актив («копилка») име­ет нулевую доходность;

б) хА0ПТ = 0,4843, х/пт = 0,2924. Оставшуюся часть хналопт = 0,2233 следует хранить наличностью. Риск такого портфеля ар = 11,94%;

в) в акции А и В следует вложить 48430 руб. и 29240 руб. соответ­ственно, а остаток в сумме 22330 руб. оставить дома.

5. В соответствии с табличными данными определим ожидае­мую доходность рыночного портфеля тс = 19% и его риск ас = = 9,95%, или, округляя до процентов, ас» 10%. Долю вложения х в безрисковые ценные бумаги найдем из уравнения 8х + (1 — х)19 = = 15. Откуда х0 = 4/11, и соответственно доля, приходящаяся на ры­ночный портфель, х{ = 1 — х0 = 7/11, т.е. 360 млн руб. — в безриско­вые бумаги, а 630 млн руб. — в рыночный портфель. Сформирован­ный таким образом портфель пенсионного фонда будет иметь риск о = х{- ос = 6,33%.

6. а) обозначим долю вложения в облигации через а, тогда 1 - а — доля капитала, инвестируемая в рыночный портфель. В качестве рекомендуемого портфеля следует выбрать тот, который удовлетво­ряет требованию инвестора в расчете на наименее благоприятный

исход и обеспечивает максимум ожидаемой доходности. Модель та­кого портфеля имеет вид

8а + 14 (1 - а) -> max;

8 а - 10(1 - а) >5.

Откуда аопт= 15/18, иначе говоря, на 15 стоимостных единиц безрисковых бумаг должны приходиться 3 стоимостные единицы ак­ций рыночного портфеля; б) применяя формулу (6.8), найдем веро­ятность уклонения в пределах двух СКО:

/>(|Яс-/яс|

<< | >>

Еще по теме Ответы и решения:

  1. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
  2. 10. Дополнительное решение. Разъяснение решения. Исправление описок, опечаток, арифметических ошибок. Вступление решения в законную силу. Обжалование решения. Исполнение решения
  3. 11. Дополнительное решение. Разъяснение решения. Исправление описок, опечаток, арифметических ошибок. Вступление решения в законную силу. Обжалование решения. Исполнение решения
  4. Вопрос 82. Признание и исполнение решений иностранных судов и иностранных третейских судов (арбитражей) ОТВЕТ
  5. 2. Порядок принятия, составления и оглашения решения третейского суда. Подписание решения. Порядок направления (вручения) решения сторонам
  6. 9. Сущность и содержание решения арбитражного суда, объявление решения
  7. § 11. Исполнение решений о восстановлении на работе, ограничение обратного взыскания сумм, полученных работниками по решению государственных органов
  8. § 11. Исполнение решений о восстановлении на работе, ограничение обратного взыскания сумм, полученных работниками по решению государственных органов
  9. 4. Изменение решения или вынесение нового решения
  10. § 4. Вступление решения в законную силу. направление, исполнение и обжалование решения
  11. § 2. Понятие и значение решения суда. Требования, предъявляемые к судебному решению
  12. Ответы к задачам
  13. Вопрос 84. Оспаривание решений третейских судов. Основания для отмены решения третейского суда
  14. Вопрос 58. Сущность и значение судебного решения. Требования, предъявляемые к судебному решению
  15. § 5. Производство по делам о признании и приведении к исполнению решений иностранных судов и иностранных арбитражных решений