1.1. Основные понятия и формулы

Правила приведения во времени. Согласно принципу временной неравноценности денег равновеликие, но разновременные денеж­ные суммы оцениваются по-разному. Это свойство финансовых сопоставлений лежит в основе правил приведения денег во време­ни.
В будущем денежные эквиваленты увеличиваются и отвечаю­щие им суммы рассчитываются по формулам наращения. «Попят­ное» движение сопровождается снижением равноценных выплат, для определения которых используют формулы дисконтирования.

Общим правилам наращения и дисконтирования для произ­вольного срока предпошлем частный случай приведения на еди­ничном периоде. В зависимости оттого, величина какого из кон­цевых платежей считается базовой, т. е. принимается за 100%, различают два варианта: 1) приведение по ставке начисления; 2) приведение соответственно ставке удержания процентов.

Вариант 1.

Пусть в качестве базовой рассматривается величина Р0 в нача­ле периода. Тогда ставкой приведения г% считается ставка начис­ления процента, т. е. тот процент, на который увеличится началь­ная сумма Р0 за один период. В результате наращенная за один период сумма Р{ составит величину:

Р1=Ро(1+Т^о)=/>о(1+0'

где / — дробное измерение ставки.

Дисконтирование по этой ставке, называемой в этой связи еще и ставкой дисконтирования, заключается в приведении поздней выплаты Р{ к предшествующему эквиваленту Р0:

Рп=-

(1 + 0*

Вариант 2.

Пусть за базовую принята величина Р{ в конце периода. Тогда ставкой приведения является ставка удержания процентов, ее еще называют учетной ставкой, т. е. тот процент, на который уменьшится финальная сумма Р\ на один период «назад». В этом случае процедура дисконтирования определяется формулой

Я* = Я(1 ——) = Л(1 -У),

о п шо/ IV л?

где ------ - дробное измерение ставки.

100

Наращение по этой ставке, называемой еще ставкой нараще­ния по учетному проценту, заключается в приведении ранней выплаты к последующему эквиваленту Рх\

Рх =

(1 -л

По отношению к другим периодам («вперед» или «назад») формулы приведения определяются принятым правилом начис­ления (удержания) процентов: простых или сложных.

Ро = Р,
(1 + пі)

Ро \\-nj)

Согласно простым процентам приросты (удержания) денеж­ных сумм на любом периоде составляют одну и ту же долю базо­вой величины. Отсюда получаются следующие формулы простых процентов:

Рп = Р0(1 и- пі) - наращение по простому проценту; Рп

- дисконтирование по простому проценту;

(1.1)

- наращение по учетной ставке простого процента;

Р0 = Рп{ \ — п]) — дисконтирование по учетной ставке простого про­цента.

Для сложных процентов одна и та же ставка берется не от ба­зовой величины, а от результата предыдущего во времени приве­дения. В результате придем к формулам сложных процентов:

Pn = P0(l + i)n - наращение по сложному проценту;

дисконтирование по сложному проценту;

(1.2)

наращение по учетной ставке сложного процента;

Р0 = Рп(\ - j)n - дисконтирование по учетной ставке сложного про­цента.

Коэффициенты приведения денежных сумм в (1.1) и (1.2) на­зывают множителем наращения Х(п\ /) и дисконтным множите­лем у (я; /), а промежуток приведения п измеряют в долях единич­ного периода, например года.

Приведение в «дробном» времени. Начисление процентов за дробное число лет может выполняться двумя методами:

1) по формуле сложных процентов:

S=P0(l + i)a + b;

2) смешанным методом:

S=P0(l + 0V + bi).

В этих формулах (а + Ь) — период приведения, а — целое чис­ло лет, b — дробная часть года.

Правила приведения в непрерывном времени. В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. про­центы, начисляемые за фиксированный промежуток времени (год, полугодие, квартал и т.д.). В некоторых случаях - для эконо­мического анализа и в расчетах, связанных с непрерывными про­цессами, в математическом моделировании, а иногда и на прак­тике — возникает необходимость в применении непрерывных процентов.

Правилу начисления по непрерывной ставке сложного про­цента отвечает такое изменение наращиваемой суммы S(t), при котором ее «привес» — процентные деньги за малый промежуток Аt — будет пропорционален длине этого промежутка и денежной сумме на его начало с коэффициентом пропорциональности 8:

S(t + АО - S(t) = 8S(t)At.

Этому соотношению в непрерывном времени соответствует дифференциальное уравнение

Л

с начальным условием £(0) = Откуда получим следующие формулы наращения и дисконтирования:

5(0 = =

Процентная ставка 5 при непрерывном наращении имеет особое название — силы роста.

Согласно правилу простого процента непрерывно начисляе­мые проценты пропорциональны длительности времени начис­ления At и начальной сумме £(0) = 50, т.е.

Предельным переходом при А/ ~> 0, получим

(1-4)

где Т— время (в годах), за которое получен доход.

Согласно схеме /я-кратной капитализации на первоначаль­ную сумму в течение года начисляются проценты по годовой ставке /, причем число периодов начисления равно т. Будучи продолжено на Глет, такое реинвестирование даст результат

БТ= 50(1 + 1/т)тТ.

Отсюда, пользуясь определением эффективной ставки, най­дем ее зависимость от номинальной ставки /:

г =( 1+1)«-1. (1.5)

171

Таким образом, эффективная ставка измеряет тот относи­тельный ДОХОД ! — который может быть получен в це­лом за год, т.е. сторонам безразлично, применять ли ставку / при начислении процентов т раз в год или годовую ставку и та и другая эквивалентны в финансовом отношении. Заметим, что при увеличении частоты капитализации т период начисления становится все меньше и мы приближаемся к непрерывному на­ращению процентов. В пределе при т, стремящемся к бесконеч­ности, получим формулы непрерывного приведения (1.3) с силой роста 5, равной номинальной ставке / (5 = /). Пользуясь опреде­лением (1.4), найдем эффективную ставку, эквивалентную непре­рывному наращению с силой роста 5: /у= еъ — 1. Отсюда следует,.

что 6 = 1п1), т. е. операция приведения (дисконтирова­ния, нарашения) на п периодов по сложному проценту со став­кой равносильна приведению в непрерывном времени с силой роста 6.

Наращение процентов и инфляция. Инфляция проявляется в росте цен Рг и может измеряться темпом их прироста г, а также периодом Г, за который они удвоятся. Первый показатель назы­вают темпом инфляции. Он характеризует относительное изме­нение цены за один период:

Р<

Отсюда следует возможность описания роста цен правилом сложных процентов. Так, при сохраняющемся темпе инфляции

/>,= Р0(1+/•)'.

Определим число лет Г, необходимых для двукратного подо­рожания. В этом случае

Г =
(1.6)

2 = (1 + г)т

и

1п2 1001п2 г г%

Для грубых прикидок числа лет удвоения можно воспользо­ваться правилом числа 70:

___________ 70__________ = 70

темп инфляции в процентах г%

Это правило получается из формулы удвоения заменой 1п2 его приближенным значением: 1п2 « 0,7. Очевидно, что данные фор­мулы можно использовать и для отрицательного темпа (г < 0), т. е. когда имеет место не прирост, а снижение.

В финансовой практике инфляцию учитывают, корректируя ставку начисления процентов таким образом, чтобы компенси­
ровать обесценивание наращенной суммы из-за роста цен. Чтобы номинальная ставка ] при годовой инфляции г соответствовала реальной ставке она должна удовлетворять условию

У = / + г+/г. (1.7)

При невысокой инфляции произведением в формуле (1.7) можно пренебречь. В этом случае поправка на инфляцию ограни­чивается величиной темпа г, и ставку корректируют по формуле

У-/ + Г. (1.8)

<< | >>
Источник: Капитоненко В. В.. Задачи и тесты по финансовой математике: учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, — 256 с.. 2007

Еще по теме 1.1. Основные понятия и формулы:

  1. Основные формулы теории вероятностей
  2. § 78. Строение формулы
  3. Глава 8.4. Формула Дюпона
  4. (IV.4.2) Содержание и построение формулы.
  5. § 77. II. Процесс «per formulas» («no формуле»)
  6. Формула
  7. 2.2. Выбор формул лучшего вида
  8. 26. МОДЕЛИ МОДИЛЬЯНИ-МИЛЛЕРА. ФОРМУЛА ХАМАДА
  9. 9.3 Расчет резерва по перспективной формуле (договор полного страхования жизни)
  10. Принятые обозначения и необходимые формулы
  11. Принятые обозначения и необходимые формулы
  12. Формула для оптимального размера партии
  13. 9.4 Расчет резерва по ретроспективной формуле (договор полного страхования жизни)